線形代数例

$- 4 - 4 i$

ステップ 1

公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して $(a, b)$ から原点までの距離を計算します。

$r = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 2

$\sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$r = \sqrt{16 + 16}$

ステップ 2.3

$16$ と $16$ をたし算します。

$r = \sqrt{32}$

ステップ 2.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$r = \sqrt{16 (2)}$

ステップ 2.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$r = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$r = 4 \sqrt{2}$

ステップ 3

参照角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ を計算します。

$θ̂ = \arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$

ステップ 4

$\arctan (| \frac{- 4}{- 4} |)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$- 4$ を $- 4$ で割ります。

$θ̂ = \arctan (| 1 |)$

ステップ 4.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$θ̂ = \arctan (1)$

ステップ 4.3

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ̂ = \frac{π}{4}$

ステップ 5

$x$ と $y$ が両方とも負なので、点は第三象限に位置します。象限は右上から反時計回りに名前が付けられます。

象限 $3$

ステップ 6

$(a, b)$ は第三象限にあります。 $θ = π + θ̂$

$θ = π + \frac{π}{4}$

ステップ 7

$θ$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 7.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$\frac{5 π}{4}$

ステップ 8

公式を利用して複素数の根を求めます。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

ステップ 9

$r$ 、 $n$ 、および $θ$ を公式に代入します。

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ステップ 9.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{4}$

ステップ 9.2

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π k}{4}$

ステップ 9.3

公分母の分子をまとめます。

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π k}{4}$

ステップ 9.4

$π \cdot 4$ と $π$ をたし算します。

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ステップ 9.4.1

$π$ と $4$ を並べ替えます。

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π k}{4}$

ステップ 9.4.2

$4 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} c i s \frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{4}$

ステップ 9.5

${(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}}$ と $\frac{\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k}{4}$ をまとめます。

$c i s \frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{4}$

ステップ 9.6

$c$ と $\frac{{(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{4}$ をまとめます。

$i s \frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{4}$

ステップ 9.7

$i$ と $\frac{c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{4}$ をまとめます。

$s \frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{4}$

ステップ 9.8

$s$ と $\frac{i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{4}$ をまとめます。

$\frac{s (i (c ({(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))))}{4}$

ステップ 9.9

括弧を削除します。

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ステップ 9.9.1

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)))}{4}$

ステップ 9.9.2

括弧を削除します。

$\frac{s (i (c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{4}$

ステップ 9.9.3

括弧を削除します。

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k))}{4}$

ステップ 9.9.4

括弧を削除します。

$\frac{s (i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}}) (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{4}$

ステップ 9.9.5

括弧を削除します。

$\frac{s (i c) {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{4}$

ステップ 9.9.6

括弧を削除します。

$\frac{s i c {(4 \sqrt{2})}^{\frac{1}{4}} (\frac{5 \cdot π}{4} + 2 π k)}{4}$

ステップ 10

$k = 0$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 10.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (0)}{4})$

ステップ 10.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{4})$

ステップ 10.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (0)}{4})$

ステップ 10.4

公分母の分子をまとめます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (0)}{4})$

ステップ 10.5

分子を簡約します。

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ステップ 10.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (0)}{4})$

ステップ 10.5.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (0)}{4})$

ステップ 10.6

$2 π (0)$ を掛けます。

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ステップ 10.6.1

$0$ に $2$ をかけます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0 π}{4})$

ステップ 10.6.2

$0$ に $π$ をかけます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 0}{4})$

ステップ 10.7

$\frac{5 π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4}}{4})$

ステップ 10.8

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 10.9

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

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ステップ 10.9.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{5 π}{4 \cdot 4})$

ステップ 10.9.2

$4$ に $4$ をかけます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{5 π}{16})$

ステップ 11

$k = 1$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 11.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (1)}{4})$

ステップ 11.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{4})$

ステップ 11.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (1)}{4})$

ステップ 11.4

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (1)}{4})$

ステップ 11.5

分子を簡約します。

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ステップ 11.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (1)}{4})$

ステップ 11.5.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (1)}{4})$

ステップ 11.6

$2$ に $1$ をかけます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π}{4})$

ステップ 11.7

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π \cdot \frac{4}{4}}{4})$

ステップ 11.8

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{2 π \cdot 4}{4}}{4})$

ステップ 11.9

公分母の分子をまとめます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π + 2 π \cdot 4}{4}}{4})$

ステップ 11.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.10.1

$4$ に $2$ をかけます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π + 8 π}{4}}{4})$

ステップ 11.10.2

$5 π$ と $8 π$ をたし算します。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{13 π}{4}}{4})$

ステップ 11.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 11.12

$\frac{13 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.12.1

$\frac{13 π}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{4 \cdot 4})$

ステップ 11.12.2

$4$ に $4$ をかけます。

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{16})$

ステップ 12

$k = 2$ を公式に代入し、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (2)}{4})$

ステップ 12.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{4})$

ステップ 12.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (2)}{4})$

ステップ 12.4

公分母の分子をまとめます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (2)}{4})$

ステップ 12.5

分子を簡約します。

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ステップ 12.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (2)}{4})$

ステップ 12.5.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (2)}{4})$

ステップ 12.6

$2$ に $2$ をかけます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π}{4})$

ステップ 12.7

$4 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 4 π \cdot \frac{4}{4}}{4})$

ステップ 12.8

$4 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{4 π \cdot 4}{4}}{4})$

ステップ 12.9

公分母の分子をまとめます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π + 4 π \cdot 4}{4}}{4})$

ステップ 12.10

分子を簡約します。

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ステップ 12.10.1

$4$ に $4$ をかけます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π + 16 π}{4}}{4})$

ステップ 12.10.2

$5 π$ と $16 π$ をたし算します。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{21 π}{4}}{4})$

ステップ 12.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21 π}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 12.12

$\frac{21 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.12.1

$\frac{21 π}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21 π}{4 \cdot 4})$

ステップ 12.12.2

$4$ に $4$ をかけます。

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21 π}{16})$

ステップ 13

$k = 3$ を公式に代入し、簡約します。

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ステップ 13.1

積の法則を $4 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{(π + \frac{π}{4}) + 2 π (3)}{4})$

ステップ 13.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (3)}{4})$

ステップ 13.3

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4} + 2 π (3)}{4})$

ステップ 13.4

公分母の分子をまとめます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 4 + π}{4} + 2 π (3)}{4})$

ステップ 13.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{4 \cdot π + π}{4} + 2 π (3)}{4})$

ステップ 13.5.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 2 π (3)}{4})$

ステップ 13.6

$3$ に $2$ をかけます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 6 π}{4})$

ステップ 13.7

$6 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + 6 π \cdot \frac{4}{4}}{4})$

ステップ 13.8

$6 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π}{4} + \frac{6 π \cdot 4}{4}}{4})$

ステップ 13.9

公分母の分子をまとめます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π + 6 π \cdot 4}{4}}{4})$

ステップ 13.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.10.1

$4$ に $6$ をかけます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{5 π + 24 π}{4}}{4})$

ステップ 13.10.2

$5 π$ と $24 π$ をたし算します。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{\frac{29 π}{4}}{4})$

ステップ 13.11

分子に分母の逆数を掛けます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{29 π}{4} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 13.12

$\frac{29 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.12.1

$\frac{29 π}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{29 π}{4 \cdot 4})$

ステップ 13.12.2

$4$ に $4$ をかけます。

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{29 π}{16})$

ステップ 14

解をまとめます。

$k = 0 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{5 π}{16})$

$k = 1 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{13 π}{16})$

$k = 2 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{21 π}{16})$

$k = 3 : 4^{\frac{1}{4}} {\sqrt{2}}^{\frac{1}{4}} c i s (\frac{29 π}{16})$

線形代数 例

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